Ruta Crítica Pert Cpm Abril 9, 2010

  MÉTODOS CPM Y PERT

Los métodos CPM (método de la ruta crítica o del camino crítico, criticaI path method) y PERT (técnica de evaluación y revisión de programa,program evaluation and review techni- que) se basan en redes, y tienen por objeto auxiliar en la planeación, programación y control de proyectos. Se define un proyecto como conjunto de actividades interrelacionadas, en la que cada actividad consume tiempo y recursos. El objetivo del CPM y del PERT es contar con un método analítico para programar las actividades. En la figura 6.50 se resumen los pasos de estas técnicas. Primero se definen las actividades del proyecto, sus relaciones de precedencia.

Figura 6.50

y sus necesidades de tiempo. A continuación, el proyecto se traduce en una red que muestre las relaciones de precedencia entre las actividades. El tercer paso implica cálculos específicos de redes, que forman la base del desarrollo del programa del proyecto en función del tiempo.

Durante la ejecución del proyecto, podría no cumplirse el programa que estaba planeado, causando que algunas de las actividades se adelanten o se atrasen. En este caso será necesario actualizar el programa para que refleje la realidad. Ésta es la razón de incluir un bucle, lazo o ci­clo de retroalimentación entre la fase de programa y la fase de red, como se ve en la figura 6.50.

Las dos técnicas, CPM y PERT, que se desarrollaron en forma independiente, difieren en que en el CPM se supone duraciones determinísticas de actividad, mientras que en PERT se suponen duraciones probabilísticas. Esta presentación comenzará con el CPM y después se pre­sentarán los detalles del PERT.

Representación en red

Cada actividad del proyecto se representa con un arco que apunta en la dirección de avance del proyecto. Los nodos de la red establecen las relaciones de precedencia entre las diferentes actividades del proyecto.

Para configurar la red se dispone de dos reglas:

Regla 1. Cada actividad se representa con un arco, y uno sólo.

Regla 2. Cada actividad se debe identificar con dos nodos distintos.

La figura 6.51 muestra cómo se puede usar una actividad ficticia para representar dos actividades concurrentes, A y B. Por definición, la actividad ficticia, que normalmente se re­presenta con un arco de línea interrumpida, no consume tiempo o recursos. La inserción de una actividad ficticia en una de las cuatro formas que se ven en la figura 6.51, mantiene la concurrencia de A y B, y también proporciona nodos finales únicos para las dos actividades (para satisfacer la regla 2).

Regla 3. Para mantener las relaciones de precedencia correctas, se deben contestar las si­guientes preguntas cuando se agrega a la red cada actividad:

a)         ¿Qué actividades deben anteceder inmediatamente a la actividad actual?

b)         ¿Qué actividades deben seguir inmediatamente a la actividad actual?

c)         ¿Qué actividades deben efectuarse en forma concurrente o simultánea con la actividad actual?

Figura 6.51 

Uso de una actividad ficticia para tener representación única de las actividades concurrentes A y B

Para contestar estas preguntas se podrá necesitar el uso de actividades ficticias, para asegurar las precedencias correctas entre las actividades. Por ejemplo, considere al siguiente segmento de un proyecto:

1. La actividad C comienza de inmediato después de haber terminado A y B.
2. La actividad E se inicia después de que sólo terminó la actividad B.

La parte (a) de la figura 6.52 muestra la representación incorrecta de esta relación de prece­dencia, porque pide que A y B terminen antes de poder iniciar E. En la parte B se corrige la si­tuación con el uso de la actividad ficticia.

Figura 6.52: Uso de una actividad ficticia para asegurar una relación de precedencia correcta

Ejemplo

Un editor tiene un contrato con un autor, para publicar su libro de texto. Las actividades (sim­plificadas) relacionadas con la producción del libro se ven a continuación. Formular la red asociada al proyecto.

 

La figura 6.53 muestra la red que describe las relaciones de precedencia entre las diver­sas actividades. Con la actividad ficticia (2, 3) se obtienen nodos finales únicos para las ac­tividades concurrentes A y B. La numeración de los nodos se hace en forma que indique el avance en el proyecto.

Figura 6.53

 

Cálculos para la ruta crítica (CPM)

El resultado final de CPM es la formulación o construcción del programa del proyecto (véase la figura 6.50). Para lograr este objetivo en una forma adecuada, se hacen cálculos especiales con los que se obtiene la siguiente información:

a)    Duración total necesaria para terminar el proyecto.

b)    Clasificación de las actividades del proyecto en críticas y no críticas.

Se dice que una actividad es crítica si no hay margen en la determinación de sus tiem­pos de inicio y de término. Una actividad no críticapermite alguna holgura en su programa­ción, de modo que el tiempo de inicio de la actividad se puede adelantar o retrasar dentro de ciertos límites, sin afectar la fecha de terminación de todo el proyecto.

Para efectuar los cálculos necesarios, se define un evento como un momento en el tiem­po en el que se terminan actividades y otras se inician. En términos de redes, un evento co­rresponde a un nodo. Se define lo siguiente:

= Tiempo más temprano de ocurrencia del evento j

Aj = Tiempo más tardío de ocurrencia del evento j

D¡j = Duración de la actividad (i, j)

Las definiciones de los tiempos más temprano y más tardío del evento j se especifican en re­lación con las fechas de inicio y terminación de todo el proyecto.

Los cálculos de ruta crítica implican dos pasos: el paso hacia adelante determina los tiempos más tempranos o de ocurrencia de los eventos, y el paso hacia atrás calcula sus tiem­pos más tardíos de ocurrencia.

Paso hacia adelante (tiempos más tempranos de ocurrencia o tiempos más próximos, de ocurrencia, □). Los cálculos se inician en el nodo 1 y avanzan en forma recursiva hasta el nodo final n.

Paso inicial. Poner = 0, para indicar que el proyecto se inicia cuando el tiempo es 0. Paso general j. Dado que los nodos p, q, …, y v están enlazados directamente con el nodo j por las actividades de entrada (p,j), (q,j),…, y (v,j) y que los tiempos más tempra­nos de ocurrencia de los eventos (nodos) p, q,…, y v ya se han calculado, entonces se calcula el tiempo más temprano de ocurrencia del evento jcomo sigue:

máx {□„ + ü_pp + D_qr …, a + D_VI}

El paso hacia adelante se termina cuando se calcula □„ en el nodo n. Por defini­ción, □• representa la ruta (duración) más larga al nodo j.

Paso hacia atrás (tiempos más tardíos de ocurrencia o tiempos más lejanos de ocurren­cia, A). Después de terminar el paso hacia adelante, los cálculos del paso hacia atrás co­mienzan en el nodo n y terminan en el nodo 1.

Paso inicial. Igualar A„ = para indicar que las ocurrencias más temprano y más tardío

del último nodo en el proyecto son iguales. Paso general j. Dado que los nodos p, q, …, y v están enlazados en forma directa con el nodo jpor actividades de salida (j, p), (j, q),…, y (/’, v), y que ya se calcularon los tiempos más tardíos de los nodos p, q, …, y v, el tiempo tardío del nodo j se calcula como sigue:

A, = mín {A_p - D_jp, \ – D_jq,…, A_v. – D_jv} El paso hacia atrás se termina cuando se calcula A, en el nodo 1.

Con base en los cálculos anteriores, una actividad (i, j) será crítica si satisface tres con­diciones:

a)      a,- = q¡

b)         Aj = D_;

c)         A, – A,- = – = D,,

Las tres condiciones indican que los tiempos más tempranos y más tardíos de ocurrencia de los nodos i y j son iguales, y que la duración D_;jse ajusta exactamente al intervalo especifica­do de tiempo. Una actividad que no satisface las tres condiciones es no crítica.

Las actividades críticas de una red deben formar una trayectoria no interrumpida que abarque toda la red, desde el inicio hasta el final.

Ejemplo

Determinar la ruta crítica para la red del proyecto de la figura 6.54. Todas las duraciones están en días.

Paso hacia adelante

Nodo 1. Hacer o definir □, = 0 Nodo 2. IHj = □, + D_n = 0 + 5 = 5

Nodo 3. CI3 = máx{D, + D₁₃, C^ + D₂₃} = máx {0 + 6, 5 + 3} = 8 Nodo 4. Q, = Ct + D₂₄ = 5 + 8 = 13

Nodo 5. CI5 = máx {□, + D₃₅, O, + £>₄₅} = máx {8 + 2, 13 + 0} = 13 Nodo 6. q, = máx {O, + D₃₆, + D^, D_s + D₅₆} = máx {8 + 11, 13 + 1, 13 + 12} = 25

Los cálculos indican que el proyecto se puede terminar en 25 días.

Paso hacia atrás

Nodo 6.          Hacer A₆ = = 25

Nodo 5.          A₅ = A₆ — D₅₆ = 25 – 12 = 13

Nodo 4.          A₄ = mín {A₆ – D₄₆, A₅ – D₄₅} = mín {25 – 1, 13 – 0} = 13

Nodo 3.          A₃ = mín {A₆ – D₃₆, A₅ – D₃₅} = mín {25 – 11, 13 – 2} = 11

Nodo 2.          A₂ = mín {A₄ – D₂₄, A₃ – £>₂₃} = mín {13 – 8, 11 – 3} = 5

Nodo 1.          A, = mín {A₃ – D,₃, A₂ – D,₂} = mín {11 – 6, 5 – 5} = 0

Si los cálculos fueron correctos, siempre terminarán con A! = 0.

Los cálculos en los pasos hacia adelante y hacia atrás se resumen en la figura 6.54. Las re­glas para determinar las actividades críticas indican que la ruta crítica esl—>2—>4—>5—>6, que abarca la red desde el inicio (nodo 1) hasta el fin (nodo 6). La suma de las duraciones de las actividades críticas [(1,2), (2,4), (4, 5) y (5,6)] es igual a la duración del proyecto (= 25 días), Observe que la actividad (4, 6) satisface las dos primeras condiciones para que la actividad sea crítica (A₄ = m₄ = 13yA₅ = II]₅ = 25), pero la tercera no (C^ – D₄ ^ D^). Por consi­guiente, esa actividad no es crítica.

Figura 6.54 

 

Redes de PERT

El PERT difiere del CPM en que basa la duración de una actividad en tres estimaciones:

1.        Tiempo optimista a, donde se supone que la ejecución va extremadamente bien.

2.        Tiempo más probable m, donde se supone que la ejecución se hace bajo condiciones normales.

3.        Tiempo pesimista b, donde se supone que la ejecución va extremadamente mal.

Se supone que el intervalo (a, b) abarca todas las estimaciones posibles de la duración de una actividad. Por consiguiente, el estimado m debe estar en algún lugar dentro del intervalo (a, b). Con base en los estimados (o estimaciones), el tiempo promedio de duración D, y la va- rianza v, se calculan como sigue:

_ a + 4m + b

Los cálculos de ruta crítica (CPM) que se describieron en las secciones 6.6.2 y 6.6.3 se pue­den aplicar en forma directa, sustituyendo la estimación única D por D.

Ahora es posible estimar la probabilidad de que un nodo j en la red suceda en un tiempo programado especificado con anterioridad, Sj. Seae¡ el tiempo más temprano de ocurrencia del nodo j. Como las duraciones de las actividades que van del nodo de inicio al nodo j son variables aleatorias, e¡ también debe ser una variable aleatoria. Suponiendo que todas las acti­vidades en la red sean estadísticamente independientes, se puede determinar la media, E{e¿) y la varianza, var{^} como sigue. Si sólo hay una ruta desde el nodo de inicio hasta el nodo j, la media es la suma de las duraciones esperadas D, para todas las actividades a lo largo de esa ruta, y la varianza es la suma de las varianzas v de las mismas actividades. Por otra parte, si

hay más de una ruta que llegue al nodo j, será necesario calcular primero la distribución esta­dística de la duración de la ruta más larga, antes de calcular la media y la varianza correctas. Este problema es bastante difícil, porque equivale a determinar la distribución del máximo de varias variables aleatorias. Por consiguiente, una hipótesis simplificadora es calcular la media y la varianza, y var{e¡}, como el de la ruta al nodo j que tenga la suma mayor de dura­ciones esperadas de las actividades. Si hay dos o más rutas que tienen la misma media (o pro­medio), se selecciona la que tenga la varianza mayor, porque refleja la máxima incertidumbre y en consecuencia conduce a un estimado más conservador de las probabilidades.

Una vez calculados la media y la varianza E{ej] y var{^} de la ruta al nodo j, la probabili­dad que se realice el nodo j en un tiempo S¿preestablecido, se calcula con la siguiente fórmula:

f e. – E{e.} S¡ -

en donde

z = Variable aleatoria normal estándar _{k =} Sj – E{e,} Vvar{<?_;}

La variable aleatoria normal estándar z tiene media 0 y desviación estándar 1 (véase el apéndice C). La justificación para usar la distribución normal es que e¡ es la suma de variables aleatorias independientes. De acuerdo con el teorema del límite central (o ley de la distribución de los errores; véase la sección 12.5.4), e_] está distribuida normalmente, en forma aproximada.

Ejemplo

Se tiene el proyecto del ejemplo anterior. Para evitar repetir los cálculos tk ruta crítica, se selec­cionaron los valores de a, m y b en la tabla siguiente, de tal modo que D¡¡ = D¡¡ para toda i y j en el ejemplo anterior.

 

La media D¡¡ y la varianza V_tJ de las distintas actividades se ve en la tabla de abajo. Ob­serve que para una actividad ficticia (a, b, m) = (0, 0, 0), y en consecuencia su media y va­rianza también son iguales a cero

 

La tabla siguiente muestra la trayectoria más larga del nodo 1 a los distintos nodos, junto con su media y varianza asociados.

 

 

Por último, en la tabla siguiente se calcula la probabilidad de que cada nodo se realice en un tiempo S. preestablecido, especificado por el analista.

CPM (Critical Path Method) o Método de la Ruta Crítica

El método CPM o Ruta Crítica (equivalente a la sigla en inglés Critical Path Method) es frecuentemente utilizado en el desarrollo y control de proyectos. El objetivo principal es determinar la duración de un proyecto, entendiendo éste como una secuencia de actividades relacionadas entre sí, donde cada una de las actividades tiene una duración estimada.

En este sentido el principal supuesto de CPM es que las actividades y sus tiempos de duración son conocidos, es decir, no existe incertidumbre. Este supuesto simplificador hace que esta metodología sea fácil de utilizar y en la medida que se quiera ver el impacto de la incertidumbre en la duración de un proyecto, se puede utilizar un método complementario como lo es PERT.

Una ruta es una trayectoria desde el inicio hasta el final de un proyecto. En este sentido, la longitud de la ruta crítica es igual a la la trayectoria más grande del proyecto. Cabe destacar que la duración de un proyecto es igual a la ruta crítica.

Etapas de CPM

Para utilizar el método CPM o de Ruta Crítica se necesita seguir los siguientes pasos:

1. Definir el proyecto con todas sus actividades o partes principales.
2. Establecer relaciones entre las actividades. Decidir cuál debe comenzar antes y cuál debe seguir después.
3. Dibujar un diagrama conectando las diferentes actividades en base a sus relaciones de precedencia.
4. Definir costos y tiempo estimado para cada actividad.
5. Identificar la trayectoria más larga del proyecto, siendo ésta la que determinará la duración del proyecto (Ruta Crítica).
6. Utilizar el diagrama como ayuda para planear, supervisar y controlar el proyecto.

Por simplicidad y para facilitar la representación de cada actividad, frecuentemente se utiliza la siguiente notación:

Donde:

IC : Inicio más cercano, es decir, lo más pronto que puede comenzar la actividad.
TC : Término más cercano, es decir, lo más pronto que puede terminar la actividad.
IL : Inicio más lejano, es decir, lo más tarde que puede comenzar la actividad sin retrasar el término del proyecto.
TL : Término más lejano, es decir, lo más tarde que puede terminar la actividad sin retrasar el término del proyecto.

Adicionalmente se define el término Holgura para cada actividad que consiste en el tiempo máximo que se puede retrasar el comienzo de una actividad sin que esto retrase la finalización del proyecto. La holgura de una actividad se puede obtener con la siguiente fórmula:

Holgura = IL - IC = TL - TC

EJEMPLO: A continuación se presenta un resumen de las actividades que requiere un proyecto para completarse. El tiempo de duración de cada actividad en semanas es fijo. Se solicita que estime la duración total del proyecto a través del método CPM.

Actividad	Duración (sem)	Actividad Predecesora
A	6	-
B	8	-
C	12	A,B
D	4	C
E	6	C
F	15	D,E
G	12	E
H	8	F,G

En consideración a las etapas del método CPM definidas anteriormente, en este caso se debe desarrollar el paso 3 y 5. En este sentido es necesario construir el diagrama identificando las relaciones entre las actividades y con el objetivo de resumir la metodología se incorporará inmediatamente el cálculo de la Holgura, IC, TC, IL, TL para cada actividad, junto con la identificación de la ruta crítica.

Primero se construye el diagrama identificando cada actividad en un nodo (círculo) con su nombre respectivo y entre paréntesis el tiempo estimado. Las flechas entre actividades señalan las relaciones de predecencia, por ejemplo, la actividad F sólo puede comenzar una vez terminadas las actividades D y E.

Luego, se identifica para cada actividad los indicadores IC y TC. Por ejemplo, para la actividad C el inicio más cercano es 8 (esto porque C sólo puede comenzar una vez terminada A y B, siendo B la que más se demora y termina en 8) y el término más cercano es 20 (dado que la actividad C demora 12 semanas).

Posteriormente se obtiene el IL y TL para cada actividad. Con esta información el cálculo de la holgura de cada actividad es simple. Para obtener el IL y TL de cada actividad nos "movemos" desde el final hasta el inicio. En este caso la actividad que termina más tarde es H (49 sem) y por tanto nos preguntamos cuándo es lo más tarde que podría termina H sin retrasar el proyecto (TL), esto claramente es 49. Por tanto si lo más tarde que puede terminar H es 49, lo más tarde que puede comenzar H para cumplir este tiempo es 41 (dado que H dura 8 sem). Luego, la holgura de H es cero. Notar que las actividades con holgura igual a cero corresponden a las actividades de la ruta crítica. Adicionalmente, un proyecto puede tener más de una ruta crítica.

En nuestro ejemplo la ruta crítica (única) esta conformada por las actividades B-C-E-F-H con una duración total de 49 semanas.

VIDEO TUTORIAL DEL DESARROLLO DE UN EJERCICIO DE CPM - PERT

Teoría de inventarios

TEORIA DE INVENTARIOS

Teoría de inventarios

En la industria, con el fin de evitar las interrupciones en las actividades propias de un proceso, se hace necesario mantener almacenada y lista para el uso, cierta cantidad de materia prima, lo cual es conocido comoINVENTARIO.

El inventario trae asociado a el diversos costos, que se convierten para las empresas en un factor importante, el cual deben enfrentrar y minimizar de la forma más eficiente. Entre estos encontramos los que se muestran en la siguiente figura:

Los cuales definimos así:

• Costo de ordenar o fabricar: Corresponde a los costos generados al crear la orden de un pedido o al producirlo internamente en la empresa. Por ejemplo, el costo por la realizacion de llamadas telefónicas para pedir el producto o el costo generado con el encendido de la maquinaria necesaria en la producción.

• Costo unitario de compra: Corresponde al costo variable unitario dado por la compra de un producto específico a un proveedor. Generalmente incluye, los costos de materia prima, mano de obra, maquinaria utilizada y las utilidades para el proveedor, en algunos casos también hace parte de este grupo los costos de envío.

• Costo de mantener inventario: Esta dado por los costos generados por el almacenamiento de cierta cantidad de producto, un período de tiempo específico. Pertenecen a esta categoría, los costos del capital invertido, de almacenamiento, impuestos, seguros, financieros y los asociados al proceso de obsolescencia del producto.

• Costo por faltantes: También es llamado costo por la demanda instisfecha. Surge cuando la cantidad que se requiere de un producto, es mayor que el inventario del que se dispone. Este costo es dependiente del hecho si se aceptan o no faltantes por parte del demandante. En caso de aceptarse faltantes la demanda excesiva no se pierde, sino que espera el reabastecimiento con la próxima entrega. En el caso contrario (sin faltantes), el proveedor no puede esperar a la siguiente entrega para reabastecer el inventario de su cliente, debe solucionar la situación, mediante envío prioritario o con la cancelación de la(s) orden(es).

Para conseguir el objetivo de minimizar los costos, se aplican variadas técnicas de investigación de operaciones (IO), que en ocasiones son llamadas administración científica de inventarios. Estas se desarrollan a través de los siguientes pasos: 

1. Fomular el modelo matemático que describa el comportamiento del sistema.
2. Elaborar la política óptima de inventarios a partir del modelo formulado.
3. Utilizar un sistema de procesamiento de información que permita mantener el registro de los niveles del inventario
4. Teniendo en cuenta los registros, aplicar la teoría óptima para establecer cuándo y en qué cantidad se debe reabastecer.

Los modelos de inventario, se clasifican de acuerdo a la posibilidad de predecir la 
demanda (número de unidades que será necesario extraer de este para un uso determinado en un período de tiempo específico), de la siguiente manera: 

• Inventarios de demanda conocida (determinístico)
• Inventarios de demanda desconocida (estocástico)

MODELO EOQ BÁSICO O SIN FALTANTES

El modelo EOQ básico o sin faltantes (Economic Order Quantity) o modelos del lote económico, es el modelo de inventarios mas sencillo que existe, el cual es aplicado en empresas dedicadas a la compra y venta de productos por lote, que se enfrentan en empresas dedicadas a la compra y venta de productos por lote, que se enfrentan a la reducción del inventario con el tiempo y al reabastecimiento del mismo con la llegada de nuevas unidades.


En este modelo, se manejan supuestos tales como:

• La demanda (d) es una tasa constante y conocida.
• El reabastecimiento del inventario se realiza de una sola vez, en el momento que se hace necesario, es decir, cuando el nivel de inventario llega a cero.
• Los costos no son fluctuantes (se mantienen constantes).
• Existe un costo generado por mantener el inventario.
• Se genera costo al pedir el producto.

El comportamiento que presenta el inventario se muestra en la siguiente grafica, 

Donde Q-dt es la tasa de demanda, t es el tiempo en el que se reduce el inventario por completo y Q corresponde a la cantidad de unidades a ordenar.

Para conocer el costo en el que se incurre, existe la función de costo que corresponde a:

En donde Cu es el costo unitario, Cp es el costo de hacer el pedido y Cmi corresponde al costo de mantener el inventario.


Con el fin de obtener el costo total anual por unidad de tiempo, multiplicamos la función costo total por N, que expresa el número de pedidos que se realizarán durante el año (N), teniendo en cuenta que:

Lo que nos da como resultado:

Realizando la respectiva reducción de términos semejantes y haciendo los reemplazos necesarios, obtenemos finalmente que:

A través de la aplicación de la última expresión, obtenemos el costo total anual.

El objetivo de la utilización del modelo de inventario, es la optimización del valor del costo total. Graficamente encontramos a este en la intersección del costo de pedir (Cp) y el costo de almacenar el inventario (Cmi), en la figura a continuación:

Para conseguir la expresión, que nos muestre el valor de Q óptimo, hacemos:

Así:

Con la aplicación de esta ecuación, nos damos cuenta de que:

1. Cuando la cantidad que pedimos (D) es menor a la óptima, el costo de pedir (Cp) es mayor que el costo de mantener el pedido (Cmi).
2. Si la cantidad (D), es la óptima el costo de pedir (Cp) y de mantener el pedido (Cmi), tienen el mismo valor.
3. Cuando la cantidad que pedimos (D) es mayor que la óptima, el costo de pedir (Cp) es menor que el costo de mantener el pedido (Cmi).
    

MODELO EOQ CON FALTANTES

Existen situaciones en las que permitir faltantes tiene sentido desde el punto de vista administrativo. El requisito más importante es que los clientes, estén dispuestos a aceptar un retraso razonable en la recepción de sus pedidos si es necesario. Si así es, los costos de incurrir en faltantes no serán exorbitantes. Si el costo de mantener inventarios es alto en relación con los costos de los faltantes, bajar el nivel de inventarios y permitir faltantes breves ocasionalmente puede ser una buena opción.


En el modelo EOQ con faltantes, se manejan los mismos supuestos que en el modelo EOQ sin faltantes, con la única diferencia que en el que estudiaremos a continuación si admite faltantes , es decir cuando ocurre un faltante, los clientes afectados esperan que el producto esté de nuevo disponible. Sus ordenes pendientes se satisfacen de inmediato cuando llega la cantidad ordenada para reabastecer el inventario.

En la gráfica podemos notar, que los niveles de inventario se extienden a valores negativos que reflejan el número de unidades del producto que faltaron o están pendientes de entregar. Además podemos inferir que la manera más correcta para hallar el valor del costo total, es en función de Q y S; y no solo de Q como se realizaba en el modelo sin faltantes, así:

Donde:

• Cu = Costo unitario
• Q = Tamaño del lote
• Cp = Costo de ordenar el pedido
• Imax = Inventario máximo en un solo período
• Cmi = Costo de almacenar el inventario
• t1 = Tiempo en que el inventario finaliza
• t2 = Tiempo en que se crean faltantes de pedido
• S = Cantidad de pedido faltante
• Cf = Costo por faltantes

Sabiendo que:

Reemplazamos en la función del costo total y nos queda:

Para obtener el costo total anual, multiplicamos por N a ambos lados de la función:

y obtenemos:

Resolviendo finalmente tenemos la función del costo total anual, así:

Para conseguir la ecuación, por la que obtenemos el valor óptimo de Q y S, derivamos la función costo total e igualamos a cero, así:

Despejando, obtenemos que:

MODELO LEP SIN FALTANTE

En este modelo, el abastecimiento del inventario se da mediante un proceso de producción, que toma un tiempo prudencial. Al momento de alcanzar una cantidad determinada, se detiene el proceso, que vuelve a iniciar solo cuando el inventario disminuye totalmente, así podemos decir que este modelo de producción tiene dos momentos importantes.

Se manejan supuestos como:

• No se admiten faltantes
• La rata (velocidad) de producción(R), debe ser mayor que el consumo de la demanda(D), R > D.
• El proceso de producción realizado genera un costo de ordenar la producción (Cop), no desaparece el costo de mantener el inventario (Cmi).

Donde:

• a = Se inicia el proceso de producción, el nivel de inventario es cero
• b = Termina el proceso de producción
• t1 = Tiempo en el que se realiza el proceso de producción
• t2 = Tiempo en el que se inicia la disminución del nivel de inventario (No hay proceso de producción)
• t = Tiempo transurrido entre cada inicio del proceso
• R = Rata de producción
• D = Demanda

El costo en este modelo, se obtiene al sumar los siguientes elementos:

Con el fin, tener todos los elementos de la función en términos de Q, reemplazamos:

Entonces, tenemos:

Y si ahora multiplicamos por N y simplificamos, obtenemos la función del costo total anual:

Para hallar la ecuación que nos permita saber el valor de Q óptimo (Q*), hallamos la derivada de la función C(Q) y la igualamos a cero así:

Despejando obtenemos que Q* es:

MODELO LEP CON FALTANTES 

En este modelo de inventarios, se programa el inicio del proceso de producción de las unidades, partiendo de la idea que se ha presentado un faltante de productos. Se presenta la idea de que la demanda de los productos, se presenta simultaneamente a la producción de ellos, sin embargo la tasa de producción es mayor que la demanda. De esta manera cuando se llega a la mayor cantidad de inventario posible, se detiene la producción hasta que esta se consuma totalmente y se produzca un déficit, luego del cual se iniciará de nuevo el proceso de producción.

Las suposiciones que se manejan en este modelo, en el que los inventarios se producen por la manufacturación de productos, son:

• Se permiten faltantes y el cumplimiento de ordenes con retraso, partiendo de la idea que existe una cantidad mínima de faltante que es tolerable.
• La tasa de producción es finita y mayor que la tasa de demanda.
• Se conoce la tasa de producción, la demanda y los faltantes.
• El Costo de Mantener el Inventario (Cmi) permanece en el modelo, pero ya no se habla de Costo de Pedir, sino de Manufacturación o producción.

El comportamiento que presenta el inventario según este modelo, lo vemos en la siguiente gráfica:

Donde:

• t1 = Tiempo de producción, en el que se alcanza el inventario máximo
• t2 = Tiempo donde no se produce, y se agota el inventario
• t3 = Tiempo en el que se agota el inventario y se producen faltantes
• t4 = Tiempo en el que se inicia la producción, para cumplir con los pedidos pendientes.
• T = Suma de todos los tiempos
• R = Tasa de producción
• D = Tasa de demanda

La función de costo teniendo en cuenta todos los componentes, se expresa así:

De la gráfica tenemos que,

Con estos factores, haremos los reemplazos necesarios para obtener la función de costo en términos de Q y S.

Tengamos en cuenta que, 

Así, la función de costo en terminos de Q y S es:

Al multiplicar por N, para obtener el costo total para un periodo completo, nos queda:

Entonces al derivamos la función, obteniendo,

Con lo que al despejar obtenemos que los valores optimos de Q y S están dados por:

MODELO EOQ CON DESCUENTO POR CANTIDADES

En los modelos de inventario, que hemos estudiado con anterioridad, se ha planteado que el costo de cada unidad era constante y no dependia de la cantidad de articulos del lote de compra. En este modelo, ahora encontramos un factor diferente y es el hecho de que dependiendo de la cantidad de articulos que se adquieran, el precio de cada unidad varía, es decir que cuanto mas grande sea el tamaño del lote de compra, menor sera el precio de cada unidad del mismo.

Podemos explicar este modelos, mediante el desarrollo de un ejemplo:

• Determine cual es la mejor opción de pedido, teniendo en cuenta si nos interesa disminuir los costos anuales, si la demanda es de 400 al año y el proveedor nos ofrece la siguiente tabla de descuento:

La compañía tasa un costo de manterner el inventario de 20% del precio del actículo, y el costo de colocar una orden es de $80.

Entonces, decimos que la cantidad óptima a pedir es 200 unidades, que nos arroja Costo Total Anual de $3520.

MODELO EOQ CON DEMANDA PROBABILÍSTICA

En este modelo, se suponen las mismas ideas que el modelo EOQ sin faltante. La variación que se presenta es que se considera que la demanda presenta una distribución normal, con varianza S y media X-trazo, con lo que se busca la estabilización del nivel de inventario, mediante una cantidad estabilizadora, esta cantidad se determina teniendo en cuenta que durante el tiempo de hacer un pedido y recibir el mismo la probabilidad de rotura de stock no supere un valor determinado por el que se incurra en finalización de inventario.

Los supuestos que se manejas son:

• El comportamiento que tiene la demanda es de acuerdo a la distribución normal.
• La cantidad a pedir es siempre la misma
• Mediante una función de densidad de la probabilidad por unidad de tiempo, se muestra la demanda durante el tiempo de entrega.

Dado que en este modelo, se establece una cantidad en la que el número de pedidos de la demanda, podrá superar el inventario, de otra forma se presenta un nivel de significancia expresado por la letra griega alfa. Es necesario determinar un punto de reorden r, que muestra el numero minimo de unidades que deben estar en inventario en el momento que se haga un nuevo pedido, con el fin de tener en existencia unidades para satisfacer la demanda. Expresamos el punto de reorden a partir de la siguiente ecuación:

Donde:

El valor para Z, lo encontramos en las tablas para la distribución normal, como la que se muestra a continuación:

http://induoperacionesdos.blogspot.com/p/modelos-de-inventarios.html