TEORIA DE COLAS.
INTRODUCCIÓN
Las "colas"
son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en nuestras
actividades diarias. En el contador de un supermercado, accediendo al Metro, en
los Bancos, etc., el fenómeno de las colas surge cuando unos recursos
compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de
trabajos o clientes.
El estudio de las colas es importante porque
proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de
un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser
diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.
Debido a lo comentado anteriormente, se plantea
como algo muy útil el desarrollo de una herramienta que sea capaz de dar una
respuesta sobre las características que tiene un determinado modelo de colas.
Definiciones iniciales
La teoría de colas es el estudio matemático
del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes”
llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una
cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente
y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.
Una cola es una línea de espera y la teoría
de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de
línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para
encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de
la línea de espera para un sistema dado.
Los sistemas de colas son modelos de
sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier
sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún
tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar
los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas
interconectadas formando una red de colas. En la siguiente figura podemos ver
un ejemplo de modelo de colas sencillo. Este modelo puede usarse para
representar una situación típica en la cual los clientes llegan, esperan si los
servidores están ocupados, son servidos por un servidor disponible y se marchan
cuando se obtiene el servicio requerido.
El problema es determinar qué capacidad o tasa de
servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un
cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que
momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un
horario fijo.
Los problemas de “colas” se presentan
permanentemente en la vida diaria: un estudio en EEUU concluyó que, por término
medio, un ciudadano medio pasa cinco años de su vida esperando en distintas
colas, y de ellos casi seis meses parado en los semáforos.
Introducción a la Teoría de Colas
En muchas ocasiones en
la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o líneas de
espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a
la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa
situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje
de una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un
establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de
aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc.
Todavía más frecuentes,
si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la informática, las
telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por ejemplo, los
procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras
no son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un
servidor Web puede recibirse con demora debido a congestión en la red o en el
servidor propiamente dicho, podemos recibir la señal de líneas ocupadas si la
central de la que depende nuestro teléfono móvil está colapsada en ese momento,
etc.
Origen:
El origen de la Teoría de Colas está en el
esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar
la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda
incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus
investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de
líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios
debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas
de congestión llegada-salida.
Modelo de formación
de colas.
En los problemas de formación de cola, a menudo
se habla de clientes, tales como personas que esperan la desocupación de líneas
telefónicas, la espera de máquinas para ser reparadas y los aviones que esperan
aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante,
operarios en un taller de reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los
problemas de formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de
llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad
variable de prestación del servicio en la estación de servicio.
Cuando se habla de líneas de espera, se
refieren a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los
clientes pueden esperar en cola simplemente por que los medios existentes son
inadecuados para satisfacer la demanda de servicio; en este caso, la cola
tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez mas larga a medida que
transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que
los medios existentes son excesivos en relación con la demanda de los clientes;
en este caso, las estaciones de servicio podrían permanecer ociosas la mayor
parte del tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las
instalaciones de servicio sean adecuadas, por que los clientes llegados
anteriormente están siendo atendidos. Las estaciones de servicio pueden
encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean adecuadas a largo
plazo, haya una escasez ocasional de demanda debido a un hecho temporal. Estos
dos últimos casos tipifican una situación equilibrada que tiende constantemente
hacia el equilibrio, o una situación estable.
En la teoría de la formación de colas,
generalmente se llama sistema a un grupo de unidades físicas, integradas de tal
modo que pueden operar al unísono con una serie de operaciones organizadas. La
teoría de la formación de colas busca una solución al problema de la espera
prediciendo primero el comportamiento del sistema. Pero una solución al
problema de la espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los
clientes pasan en el sistema, sino también en minimizar los costos totales de
aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan.
La teoría de colas incluye el estudio
matemático de las colas o líneas de espera y provee un gran número de modelos
matemáticos para describirlas.
Se debe lograr un balance económico entre el
costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio
La teoría de colas en
sí no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma de
decisiones
Los
objetivos de la teoría de colas consisten en:
·
Identificar el nivel óptimo de capacidad del
sistema que minimiza el coste global del mismo.
·
Evaluar el impacto que
las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían
en el coste total del mismo.
·
Establecer un balance
equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las
cualitativas de servicio.
·
Hay que prestar atención
al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la “paciencia” de los
clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer
que un cliente “abandone” el sistema.
Elementos existentes en un modelo de colas
Fuente
de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos
(no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en
cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud
no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más
sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita
pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando,
aún siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande
que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio
prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial
genera nuevas peticiones de servicio.
Cliente:
Es todo individuo de la población potencial que
solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes
consecutivos son 0<t1<t2<..., será importante conocer el patrón
de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más
habitual es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos
clientes consecutivos: consecutivos:
clientes consecutivos: T{k} = tk - tk-1,
fijando su distribución de probabilidad. Normalmente, cuando la
población potencial es infinita se supone que la distribución de probabilidad
de los Tk (que será la llamada distribución de los
tiempos entre llegadas) no depende del número de clientes que estén en espera
de completar su servicio, mientras que en el caso de que la fuente de entrada
sea finita, la distribución de los Tk variará según el número de clientes en
proceso de ser atendidos.
Capacidad
de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar
haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse
finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos,
es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos
reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el
suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar
clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma.
Disciplina
de la cola: Es el modo en el que los clientes son
seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:
La disciplina FIFO (first in first out), también llamada
FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que
antes haya llegado.
La
disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come
first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado
el último.
La RSS
(random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona
a los clientes de forma aleatoria.
Mecanismo
de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a
los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de
servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho
número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la
distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un
servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el
servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada
uno.
La cola,
propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los
clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al
mecanismo de servicio.
El
sistema de la cola: es el conjunto formado por la cola y el
mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos
indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de
servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la siguiente figura:
Un modelo de sistema de colas debe especificar la
distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor.
La distribución más usada para los tiempos de servicio
es la exponencial, aunque es común encontrar la distribución degenerada
o determinística (tiempos de servicio constantes) o la distribución Erlang
(Gamma).
Notación de Kendall
Por convención los modelos que se trabajan en teoría
de colas se etiquetan
Las distribuciones que se utilizan son:
• M: Distribución exponencial (markoviana)
• D : Distribución degenerada (tiempos constantes)
• E k : Distribución Erlang
• G : Distribución general
M / M / s : Modelo donde tanto
los tiempos entre llegada como los tiempo de servicio son exponenciales y se
tienen s servidores.
M / G / 1:
Tiempos entre llegada
exponenciales, tiempos de servicio general y 1 sólo servidor
Terminología
Usualmente siempre es común utilizar la siguiente
terminología estándar:
• Estado del sistema : Número de clientes en el sistema.
• Longitud de la cola: Número de clientes que esperan servicio.
• N(t) :
Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t ³0).
• Pn (t):
Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t,
dado el número en el tiempo cero.
• s : Número de
servidores en el sistema de colas.
• l n : Tasa media de llegadas (número esperado de llegadas
por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema.
• mn : Tasa media de servicio para todo el sistema (número
esperado clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n
clientes en el sistema.
Nota: mn representa
la tasa combinada a la que todos los servidores ocupados logran terminar sus
servicios
l n: Cuando l n es constante para toda n
mn : Cuando mn es constante para toda n ³ 1
1
|
Tiempo
entre llegadas
|
|
|
||
l
|
esperado
|
|
|
1
|
Tiempo entre llegadas
|
|
|
||
m
|
esperado
|
|
|
Ejemplo:
Sea l = 3 personas / hora
1
|
|
1 hora
|
|
|
|||
l
|
|
3
|
|
|
= 20 minutos
|
r: factor de
utilización para la instalación se servicio (fracción esperada de tiempo fue
los servidores individuales están ocupados).
r =
|
l
|
sm
|
También
puede interpretarse como número promedio de personas siendo atendidas
Nota: Para los sistemas de colas que analizaremos haremos
la suposición de que el sistema se encuentra en la condición de estado estable.
Demostración
Para s = 1
r: fracción
esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados).
El
servidor está trabajando 4 de cada 5 minutos, es decir está trabajando el 80%
del tiempo
r: Número
promedio de personas siendo atendidas
Número promedio = 0 * P0 + 1 * P1
Número promedio = P1
Número promedio = 1/m / 1/l
Número promedio = r
La siguiente notación supone la condición de estado
estable:
• Pn :
Probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema
• L: Número
esperado de clientes en el sistema.
• Lq : Longitud
esperada de la cola (excluye los clientes que están en servicio).
• W : Tiempo de
espera en el sistema para cada cliente
• W : E(W )
• W q: Tiempo de espera en la cola para cada cliente.
• Wq: E (Wq )
Relaciones entre L , W , Lq y Wq
Supongamos que ln es una constante l para toda n:
L = l W Lq = l Wq
Supongamos que el tiempo medio de servicio es una
constante 1/m para toda n ³ 1
W = Wq + 1/m L = Lq+r
Estas relaciones son fundamentales pues permiten
determinar las cuatro cantidades fundamentales L, W, Lq, Wq, en cuanto se
encuentra analíticamente el valor de una de ellas.
Características
claves.
Existen dos clases básicas de tiempo entre
llegadas:
Determinístico, en el
cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y
conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los
artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido
como ciclos de tiempo)
Probabilístico, en el
cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos
entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de
probabilidad.
En el caso probabilístico, la determinación de
la distribución real, a menudo, resulta difícil. Sin embargo, una distribución,
la distribución exponencial, ha probado ser confiable en muchos de los
problemas prácticos. La función de densidad, para una distribución exponencial
depende de un parámetro, digamos l (letra griega lambda), y está dada por:
f(t)=(1/ l )e- l t
en
donde l (lambda) es el número promedio de llegadas en una unidad de tiempo.
Con una cantidad, T,
de tiempo se puede hacer uso de la función de densidad para calcular la
probabilidad de que el siguiente cliente llegue dentro de las siguientes T
unidades a partir de la llegada anterior, de la manera siguiente:
P(tiempo
entre llegadas <=T)=1-e- l t
El proceso de servicio.
El proceso de
servicio define cómo son atendidos los clientes. En algunos casos, puede
existir más de una estación en el sistema en el cual se proporcione el servicio
requerido. Los bancos y los supermercados, de nuevo, son buenos ejemplos de lo
anterior. Cada ventanilla y cada registradora son estaciones que proporcionan
el mismo servicio. A tales estructuras se les conoce como sistemas de colas de
canal múltiple. En dichos sistemas, los servidores pueden ser idénticos, en el
sentido en que proporcionan la misma clase de servicio con igual rapidez, o
pueden no ser idénticos. Por ejemplo, si todos los cajeros de un banco tienen
la misma experiencia, pueden considerarse como idénticos.
Al contrario de un
sistema de canal múltiple, considere un proceso de producción con una estación
de trabajo que proporciona el servicio requerido. Todos los productos deben
pasar por esa estación de trabajo; en este caso se trata de un sistema de colas
de canal sencillo. Es importante hacer notar que incluso en un sistema de canal
sencillo pueden existir muchos servidores que, juntos, llevan a cabo la tarea
necesaria. Por ejemplo, un negocio de lavado a mano de automóviles, que es una
sola estación, puede tener dos empleados que trabajan en un auto de manera
simultánea
Otra característica
del proceso de servicio es el número de clientes atendidos al mismo tiempo en
una estación. En los bancos y en los supermercados (sistema de canal sencillo),
solamente un cliente es atendido a la vez. Por el contrario, los pasajeros que
esperan en una parada de autobús son atendidos en grupo, según la capacidad del
autobús que llegue.
Otra característica
más de un proceso de servicio es si se permite o no la prioridad, esto es
¿puede un servidor detener el proceso con el cliente que está atendiendo para
dar lugar a un cliente que acaba de llegar?. Por ejemplo, en una sala de
urgencia, la prioridad se presenta cuando un médico, que está atendiendo un
caso que no es crítico es llamado a atender un caso más crítico. Cualquiera que
sea el proceso de servicio, es necesario tener una idea de cuánto tiempo se
requiere para llevar a cabo el servicio. Esta cantidad es importante debido a
que cuanto más dure el servicio, más tendrán que esperar los clientes que
llegan. Como en el caso del proceso de llegada, este tiempo pude ser determinístico
o probabilístico. Con un tiempo de servicio determinístico, cada cliente
requiere precisamente de la misma cantidad conocida de tiempo para ser
atendido. Con un tiempo de servicio probabilístico, cada cliente requiere una
cantidad distinta e incierta de tiempo de servicio. Los tiempos de servicio
probabilísticos se describen matemáticamente mediante una distribución de
probabilidad. En la práctica resulta difícil determinar cuál es la distribución
real, sin embargo, una distribución que ha resultado confiable en muchas
aplicaciones , es la distribución exponencial .En este caso, su función de
densidad depende de un parámetro, digamos (la letra griega my) y esta dada por
s(t)=(1/ m )e-m t
en la que:
m = número promedio de
clientes atendidos por unidad de tiempo,
de
modo que:
1/ m = tiempo promedio invertido en
atender a un cliente
En general, el tiempo
de servicio puede seguir cualquier distribución, pero, antes de que pueda
analizar el sistema, se necesita identificar dicha distribución.
http://www.slideshare.net/agathahauochoa/teora-de-colas-8415069
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