Ruta Crítica Pert Cpm Abril 9, 2010

  MÉTODOS CPM Y PERT

Los métodos CPM (método de la ruta crítica o del camino crítico, criticaI path method) y PERT (técnica de evaluación y revisión de programa,program evaluation and review techni- que) se basan en redes, y tienen por objeto auxiliar en la planeación, programación y control de proyectos. Se define un proyecto como conjunto de actividades interrelacionadas, en la que cada actividad consume tiempo y recursos. El objetivo del CPM y del PERT es contar con un método analítico para programar las actividades. En la figura 6.50 se resumen los pasos de estas técnicas. Primero se definen las actividades del proyecto, sus relaciones de precedencia.

Figura 6.50

y sus necesidades de tiempo. A continuación, el proyecto se traduce en una red que muestre las relaciones de precedencia entre las actividades. El tercer paso implica cálculos específicos de redes, que forman la base del desarrollo del programa del proyecto en función del tiempo.

Durante la ejecución del proyecto, podría no cumplirse el programa que estaba planeado, causando que algunas de las actividades se adelanten o se atrasen. En este caso será necesario actualizar el programa para que refleje la realidad. Ésta es la razón de incluir un bucle, lazo o ci­clo de retroalimentación entre la fase de programa y la fase de red, como se ve en la figura 6.50.

Las dos técnicas, CPM y PERT, que se desarrollaron en forma independiente, difieren en que en el CPM se supone duraciones determinísticas de actividad, mientras que en PERT se suponen duraciones probabilísticas. Esta presentación comenzará con el CPM y después se pre­sentarán los detalles del PERT.

Representación en red

Cada actividad del proyecto se representa con un arco que apunta en la dirección de avance del proyecto. Los nodos de la red establecen las relaciones de precedencia entre las diferentes actividades del proyecto.

Para configurar la red se dispone de dos reglas:

Regla 1. Cada actividad se representa con un arco, y uno sólo.

Regla 2. Cada actividad se debe identificar con dos nodos distintos.

La figura 6.51 muestra cómo se puede usar una actividad ficticia para representar dos actividades concurrentes, A y B. Por definición, la actividad ficticia, que normalmente se re­presenta con un arco de línea interrumpida, no consume tiempo o recursos. La inserción de una actividad ficticia en una de las cuatro formas que se ven en la figura 6.51, mantiene la concurrencia de A y B, y también proporciona nodos finales únicos para las dos actividades (para satisfacer la regla 2).

Regla 3. Para mantener las relaciones de precedencia correctas, se deben contestar las si­guientes preguntas cuando se agrega a la red cada actividad:

a)         ¿Qué actividades deben anteceder inmediatamente a la actividad actual?

b)         ¿Qué actividades deben seguir inmediatamente a la actividad actual?

c)         ¿Qué actividades deben efectuarse en forma concurrente o simultánea con la actividad actual?

Figura 6.51 

Uso de una actividad ficticia para tener representación única de las actividades concurrentes A y B

Para contestar estas preguntas se podrá necesitar el uso de actividades ficticias, para asegurar las precedencias correctas entre las actividades. Por ejemplo, considere al siguiente segmento de un proyecto:

1. La actividad C comienza de inmediato después de haber terminado A y B.
2. La actividad E se inicia después de que sólo terminó la actividad B.

La parte (a) de la figura 6.52 muestra la representación incorrecta de esta relación de prece­dencia, porque pide que A y B terminen antes de poder iniciar E. En la parte B se corrige la si­tuación con el uso de la actividad ficticia.

Figura 6.52: Uso de una actividad ficticia para asegurar una relación de precedencia correcta

Ejemplo

Un editor tiene un contrato con un autor, para publicar su libro de texto. Las actividades (sim­plificadas) relacionadas con la producción del libro se ven a continuación. Formular la red asociada al proyecto.

 

La figura 6.53 muestra la red que describe las relaciones de precedencia entre las diver­sas actividades. Con la actividad ficticia (2, 3) se obtienen nodos finales únicos para las ac­tividades concurrentes A y B. La numeración de los nodos se hace en forma que indique el avance en el proyecto.

Figura 6.53

 

Cálculos para la ruta crítica (CPM)

El resultado final de CPM es la formulación o construcción del programa del proyecto (véase la figura 6.50). Para lograr este objetivo en una forma adecuada, se hacen cálculos especiales con los que se obtiene la siguiente información:

a)    Duración total necesaria para terminar el proyecto.

b)    Clasificación de las actividades del proyecto en críticas y no críticas.

Se dice que una actividad es crítica si no hay margen en la determinación de sus tiem­pos de inicio y de término. Una actividad no críticapermite alguna holgura en su programa­ción, de modo que el tiempo de inicio de la actividad se puede adelantar o retrasar dentro de ciertos límites, sin afectar la fecha de terminación de todo el proyecto.

Para efectuar los cálculos necesarios, se define un evento como un momento en el tiem­po en el que se terminan actividades y otras se inician. En términos de redes, un evento co­rresponde a un nodo. Se define lo siguiente:

= Tiempo más temprano de ocurrencia del evento j

Aj = Tiempo más tardío de ocurrencia del evento j

D¡j = Duración de la actividad (i, j)

Las definiciones de los tiempos más temprano y más tardío del evento j se especifican en re­lación con las fechas de inicio y terminación de todo el proyecto.

Los cálculos de ruta crítica implican dos pasos: el paso hacia adelante determina los tiempos más tempranos o de ocurrencia de los eventos, y el paso hacia atrás calcula sus tiem­pos más tardíos de ocurrencia.

Paso hacia adelante (tiempos más tempranos de ocurrencia o tiempos más próximos, de ocurrencia, □). Los cálculos se inician en el nodo 1 y avanzan en forma recursiva hasta el nodo final n.

Paso inicial. Poner = 0, para indicar que el proyecto se inicia cuando el tiempo es 0. Paso general j. Dado que los nodos p, q, …, y v están enlazados directamente con el nodo j por las actividades de entrada (p,j), (q,j),…, y (v,j) y que los tiempos más tempra­nos de ocurrencia de los eventos (nodos) p, q,…, y v ya se han calculado, entonces se calcula el tiempo más temprano de ocurrencia del evento jcomo sigue:

máx {□„ + ü_pp + D_qr …, a + D_VI}

El paso hacia adelante se termina cuando se calcula □„ en el nodo n. Por defini­ción, □• representa la ruta (duración) más larga al nodo j.

Paso hacia atrás (tiempos más tardíos de ocurrencia o tiempos más lejanos de ocurren­cia, A). Después de terminar el paso hacia adelante, los cálculos del paso hacia atrás co­mienzan en el nodo n y terminan en el nodo 1.

Paso inicial. Igualar A„ = para indicar que las ocurrencias más temprano y más tardío

del último nodo en el proyecto son iguales. Paso general j. Dado que los nodos p, q, …, y v están enlazados en forma directa con el nodo jpor actividades de salida (j, p), (j, q),…, y (/’, v), y que ya se calcularon los tiempos más tardíos de los nodos p, q, …, y v, el tiempo tardío del nodo j se calcula como sigue:

A, = mín {A_p - D_jp, \ – D_jq,…, A_v. – D_jv} El paso hacia atrás se termina cuando se calcula A, en el nodo 1.

Con base en los cálculos anteriores, una actividad (i, j) será crítica si satisface tres con­diciones:

a)      a,- = q¡

b)         Aj = D_;

c)         A, – A,- = – = D,,

Las tres condiciones indican que los tiempos más tempranos y más tardíos de ocurrencia de los nodos i y j son iguales, y que la duración D_;jse ajusta exactamente al intervalo especifica­do de tiempo. Una actividad que no satisface las tres condiciones es no crítica.

Las actividades críticas de una red deben formar una trayectoria no interrumpida que abarque toda la red, desde el inicio hasta el final.

Ejemplo

Determinar la ruta crítica para la red del proyecto de la figura 6.54. Todas las duraciones están en días.

Paso hacia adelante

Nodo 1. Hacer o definir □, = 0 Nodo 2. IHj = □, + D_n = 0 + 5 = 5

Nodo 3. CI3 = máx{D, + D₁₃, C^ + D₂₃} = máx {0 + 6, 5 + 3} = 8 Nodo 4. Q, = Ct + D₂₄ = 5 + 8 = 13

Nodo 5. CI5 = máx {□, + D₃₅, O, + £>₄₅} = máx {8 + 2, 13 + 0} = 13 Nodo 6. q, = máx {O, + D₃₆, + D^, D_s + D₅₆} = máx {8 + 11, 13 + 1, 13 + 12} = 25

Los cálculos indican que el proyecto se puede terminar en 25 días.

Paso hacia atrás

Nodo 6.          Hacer A₆ = = 25

Nodo 5.          A₅ = A₆ — D₅₆ = 25 – 12 = 13

Nodo 4.          A₄ = mín {A₆ – D₄₆, A₅ – D₄₅} = mín {25 – 1, 13 – 0} = 13

Nodo 3.          A₃ = mín {A₆ – D₃₆, A₅ – D₃₅} = mín {25 – 11, 13 – 2} = 11

Nodo 2.          A₂ = mín {A₄ – D₂₄, A₃ – £>₂₃} = mín {13 – 8, 11 – 3} = 5

Nodo 1.          A, = mín {A₃ – D,₃, A₂ – D,₂} = mín {11 – 6, 5 – 5} = 0

Si los cálculos fueron correctos, siempre terminarán con A! = 0.

Los cálculos en los pasos hacia adelante y hacia atrás se resumen en la figura 6.54. Las re­glas para determinar las actividades críticas indican que la ruta crítica esl—>2—>4—>5—>6, que abarca la red desde el inicio (nodo 1) hasta el fin (nodo 6). La suma de las duraciones de las actividades críticas [(1,2), (2,4), (4, 5) y (5,6)] es igual a la duración del proyecto (= 25 días), Observe que la actividad (4, 6) satisface las dos primeras condiciones para que la actividad sea crítica (A₄ = m₄ = 13yA₅ = II]₅ = 25), pero la tercera no (C^ – D₄ ^ D^). Por consi­guiente, esa actividad no es crítica.

Figura 6.54 

 

Redes de PERT

El PERT difiere del CPM en que basa la duración de una actividad en tres estimaciones:

1.        Tiempo optimista a, donde se supone que la ejecución va extremadamente bien.

2.        Tiempo más probable m, donde se supone que la ejecución se hace bajo condiciones normales.

3.        Tiempo pesimista b, donde se supone que la ejecución va extremadamente mal.

Se supone que el intervalo (a, b) abarca todas las estimaciones posibles de la duración de una actividad. Por consiguiente, el estimado m debe estar en algún lugar dentro del intervalo (a, b). Con base en los estimados (o estimaciones), el tiempo promedio de duración D, y la va- rianza v, se calculan como sigue:

_ a + 4m + b

Los cálculos de ruta crítica (CPM) que se describieron en las secciones 6.6.2 y 6.6.3 se pue­den aplicar en forma directa, sustituyendo la estimación única D por D.

Ahora es posible estimar la probabilidad de que un nodo j en la red suceda en un tiempo programado especificado con anterioridad, Sj. Seae¡ el tiempo más temprano de ocurrencia del nodo j. Como las duraciones de las actividades que van del nodo de inicio al nodo j son variables aleatorias, e¡ también debe ser una variable aleatoria. Suponiendo que todas las acti­vidades en la red sean estadísticamente independientes, se puede determinar la media, E{e¿) y la varianza, var{^} como sigue. Si sólo hay una ruta desde el nodo de inicio hasta el nodo j, la media es la suma de las duraciones esperadas D, para todas las actividades a lo largo de esa ruta, y la varianza es la suma de las varianzas v de las mismas actividades. Por otra parte, si

hay más de una ruta que llegue al nodo j, será necesario calcular primero la distribución esta­dística de la duración de la ruta más larga, antes de calcular la media y la varianza correctas. Este problema es bastante difícil, porque equivale a determinar la distribución del máximo de varias variables aleatorias. Por consiguiente, una hipótesis simplificadora es calcular la media y la varianza, y var{e¡}, como el de la ruta al nodo j que tenga la suma mayor de dura­ciones esperadas de las actividades. Si hay dos o más rutas que tienen la misma media (o pro­medio), se selecciona la que tenga la varianza mayor, porque refleja la máxima incertidumbre y en consecuencia conduce a un estimado más conservador de las probabilidades.

Una vez calculados la media y la varianza E{ej] y var{^} de la ruta al nodo j, la probabili­dad que se realice el nodo j en un tiempo S¿preestablecido, se calcula con la siguiente fórmula:

f e. – E{e.} S¡ -

en donde

z = Variable aleatoria normal estándar _{k =} Sj – E{e,} Vvar{<?_;}

La variable aleatoria normal estándar z tiene media 0 y desviación estándar 1 (véase el apéndice C). La justificación para usar la distribución normal es que e¡ es la suma de variables aleatorias independientes. De acuerdo con el teorema del límite central (o ley de la distribución de los errores; véase la sección 12.5.4), e_] está distribuida normalmente, en forma aproximada.

Ejemplo

Se tiene el proyecto del ejemplo anterior. Para evitar repetir los cálculos tk ruta crítica, se selec­cionaron los valores de a, m y b en la tabla siguiente, de tal modo que D¡¡ = D¡¡ para toda i y j en el ejemplo anterior.

 

La media D¡¡ y la varianza V_tJ de las distintas actividades se ve en la tabla de abajo. Ob­serve que para una actividad ficticia (a, b, m) = (0, 0, 0), y en consecuencia su media y va­rianza también son iguales a cero

 

La tabla siguiente muestra la trayectoria más larga del nodo 1 a los distintos nodos, junto con su media y varianza asociados.

 

 

Por último, en la tabla siguiente se calcula la probabilidad de que cada nodo se realice en un tiempo S. preestablecido, especificado por el analista.